211service.com
'Infinity Computer' beräknar arean av Sierpinski-mattan exakt
En Sierpinksi-matta är ett av de mer kända fraktala objekten i matematik. Att skapa en är en iterativ procedur. Börja med en fyrkant, dela den i nio lika stora rutor och ta bort den centrala. Det lämnar åtta rutor runt ett centralt fyrkantigt hål.
I nästa iteration, upprepa denna process med var och en av de åtta återstående rutorna och så vidare (se ovan).
Ett intressant problem är att hitta arean av en Sierpinski-triangel. Uppenbarligen ändras detta med varje iteration. Om vi antar att den ursprungliga kvadraten har area lika med 1, är arean efter den första iterationen 8/9. Efter den andra iterationen är det (8/9)^2; efter den tredje är det (8/9)^3 och så vidare.
Så arean av en Sierpinski-matta efter n iterationer är (8/9)^n. Det är okomplicerat.
Men vilken yta har mattan efter ett oändligt antal iterationer?
Vanlig matematik har inget svar på denna fråga eftersom den saknar verktygen för att hantera oändligheten. Istället tittar matematiker på egenskaperna hos det matematiska systemet och hur det beter sig när det tenderar mot oändligheten. De har till och med massor av formella verktyg för att utforska dessa gränser. Men egenskaperna i oändligheten måste antas.
I det här fallet tenderar mattans area att bli noll eftersom antalet iterationer tenderar till oändligheten så arean av en Sierpinski-matta är noll.
Det lämnar många matematiker med en sur smak i munnen. Anledningen är att området på en Sierpinski-matta nära oändligheten borde vara mycket känsligt för dess ursprungliga form, oavsett om det är en fyrkantig eller något annat mönster. Men processen att hitta gränserna suddar ut detta beteende.
Till exempel, istället för att börja med en fyrkant, föreställ dig att börja med formen i det övre vänstra hörnet av figuren ovan, låt oss kalla det en fyrkantig munk. Den fyrkantiga munken består av åtta rutor, var och en med sidor av längden 1/3. Uppenbarligen tenderar området på denna Sierpinksi-matta till noll eftersom n tenderar mot oändligheten.
Men den fyrkantiga munkmattan ligger ett steg före den traditionella Sierpinski-mattan, men det går vilse i det traditionella tillvägagångssättet. I oändligheten behandlas de som lika.
Om det inte låter särskilt viktigt, föreställ dig att köra processen i omvänd riktning, börja från oändligheten och arbeta baklänges för att sluta med en fyrkantig eller fyrkantig munk eller någon annan form i mattsekvensen.
I så fall kan varje form skapas av samma (oändliga) antal steg så det är inte möjligt att skilja mellan dem. Det är helt klart absurt.
Idag löser Yaroslav Sergeyev, en matematiker vid University of Calabria i Italien detta problem (och den analoga tredimensionella versionen som kallas Mengers svamp).
Under de senaste åren har Sergeyev förespråkat en ny typ av matematik som kallas infinity computing. Grundidén är att ersätta begreppet oändlighet med ett nytt nummer som Sergeyev kallar grossone, som han skriver så här:
Sergejev börjar med att lägga till ett nytt axiom till axiomet för reella tal, som han kallar det oändliga enhetsaxiomet. Detta introducerar grossone – den oändliga enheten.
Eftersom det styrs av de andra axiomen för reella tal, beter sig grossone ungefär som en också. Så det är möjligt att multiplicera grossone, dividera det, addera till det och subtrahera från det, precis som det är möjligt med andra reella tal.
Det gör plötsligt att arbeta i oändligheten mycket lättare genom att använda en beräkningsprocess som Sergejev kallar oändlighetsdatorn, som har det extra axiomet inbyggt. Införandet av grossone ger en möjlighet att arbeta med finita, oändliga och oändliga storheter numeriskt, säger han.
För att visa upp dess kraft går han igenom Sierpinski-mattexemplen ovan och avslöjar hur det är möjligt att hålla reda på antalet iterationer i oändligheten helt enkelt genom att lägga till eller subtrahera reella tal från grossone. Om en ruta kan skapas i grossone-steg, kan en fyrkantig munk skapas i -grossone minus 1- steg. På det här sättet är det en enkel sak att skilja på någon av formerna i mattsekvensen.
Det ser praktiskt ut. Oförmågan att hålla reda på matematiska processer på eller nära oändligheten på ett konsekvent sätt har frustrerat matematiker och fysiker i århundraden.
Så om Sergeyev har hittat en väg runt detta som fungerar, är det helt klart ett mycket betydande framsteg.
Ref: arxiv.org/abs/1203.3150 : Utvärdera de exakta oändliga värdena för arean av Sierpinskis matta och volymen av Mengers svamp