Hur man förvandlar den komplexa matematiken i vektorkalkyl till enkla bilder

Redan 1948 publicerade tidskriften Physical Review en artikel med titeln Space-Time Approach to Quantum Electrodynamics av en ung fysiker vid Cornell University vid namn R.P. Feynman. Uppsatsen beskrev ett nytt sätt att lösa problem inom elektrodynamik med hjälp av matriser. Men det är idag ihågkommen för en mycket kraftfullare uppfinning - Feynman-diagrammet, som dök upp där i tryck för första gången.

Feynman-diagram har haft en enorm inverkan i fysiken. De är bildrepresentationer av matematiken som beskriver samspelet mellan subatomära partiklar. Matematiskt är varje interaktion en oändlig serie, så även enkla interaktioner mellan partiklar är fantastiskt komplexa att skriva ner på detta sätt.

Feynmans geni var att representera dessa serier med enkla linjer i ett grafiskt format, vilket gör det möjligt för forskare att tänka på partikelfysik på nya och spännande sätt.

Feynman och andra började genast utöka sina idéer med denna grafiska stenografi. Den amerikanske fysikern Frank Wilcjek, som arbetade med Feynman på 1980-talet, skrev faktiskt en gång: De beräkningar som så småningom gav mig ett Nobelpris 2004 skulle ha varit bokstavligen otänkbara utan Feynman-diagram.

Naturligtvis är många andra områden inom fysiken beroende av komplex matematik. Och det väcker den intressanta frågan om grafikbaserade innovationer skulle kunna förenkla dessa beräkningar och kanske kickstarta en ny era av innovation, precis som Feynman gjorde.

Ange Joon-Hwi Kim vid Seoul National University i Sydkorea och ett par kollegor som har kommit med en liknande innovation för vektorkalkyl – en grafikbaserad stenografi för ett av de vanligaste och mest kraftfulla matematiska verktygen inom naturvetenskap. Vi räknar med att grafisk vektorkalkyl kommer att sänka barriärerna för att lära sig och öva vektorkalkyl, som Feynman-diagram gjorde i kvantfältteorin, säger de.

Först lite bakgrund. Vektorkalkyl är den gren av matematiken som handlar om differentiering och integration av vektorfält. Anledningen till att det är så viktigt i fysiken är att mer eller mindre allt i universum kan beskrivas i termer av vektorfält – elektromagnetiska fält, gravitationsfält, vätskeflöde och så vidare.

Det är därför varje fysik- och ingenjörsstudent tillbringar många lyckliga timmar med att kämpa med matematiken och den mystiska notationen som den kräver. Problemet är att vektorfält är invecklade enheter - de tilldelar en enda vektor till varje punkt i det tredimensionella rymden och kan i sig representera mer komplexa matematiska objekt som kallas differentierbara grenrör. Så när det är allra enklast kan ett vektorfält vara en oändlig lista med vektorer.

Matematiker representerar dessa fält med hjälp av en metod som kallas indexnotation. En vektor kan skrivas som till var i = 1, 2 eller 3 i tredimensionellt utrymme. Ett annat sätt att skriva detta är: = [ till ett, till två, till 3].

Problemen uppstår när dessa storheter interagerar matematiskt. Vektorfält kan multipliceras med skalärer eller med varandra på två olika sätt, kända som en punktprodukt och en korsprodukt. Och resultaten kan bli fantastiskt komplexa – enorma, flerdimensionella matriser.

I alla dessa fall måste indexen för de inblandade vektorfälten spåras noggrant. Vilken fysiker som helst kommer att veta hur lätt det är att förlora ett index, och smärtan som är involverad i att hitta det igen

Sedan finns det utmaningen att räkna ut hur dessa fält förändras över tid, eller i relation till någon annan variabel. Detta är problemet med differentiering, för vilket fysiker har utvecklat en rad verktyg som kallas operatörer - det kanske mest kända är operatör .

Framsteg som Kim och kollegor har gjort är att utveckla en grafikbaserad notation som ersätter indexnotationen. De representerar en vektor som en ruta med en linje fäst vid den. Däremot har en skalär inga linjer som sträcker sig från den.

När två vektorer multiplicerar tillsammans via en punktprodukt blir resultatet skalär kvantitet. Kim och cos notation tar hand om detta automatiskt. I en punktprodukt ansluter de linjer som är associerade med de två vektorerna med varandra, vilket skapar ett objekt utan yttre linjer – med andra ord en skalär.

Men en korsprodukt mellan två vektorer producerar en annan vektor, och återigen Kim och cos notation hanterar detta automatiskt. Grafiken för en korsprodukt är y-formad, med linjerna från de två vektorerna som ansluter till en tredje som sträcker sig bort. Detta bildar med andra ord en vektor.

Detta är bara början. Forskarna fortsätter med att beskriva ett brett utbud av andra matematiska verktyg, såsom deloperatorn tillsammans med olika viktiga identiteter som används i vektorkalkyl. Och de utvidgar sina idéer till tensorer, som är mer komplexa matematiska objekt, var och en med två eller flera index.

Resultaten visar på en anmärkningsvärd ekonomi. Kim och co visar hur deras notation förvandlar komplexa matematiska uttryck till relativt enkel grafik, precis som Feynman-diagram. Språket är mycket intuitivt och förenklar automatiskt tensoriella uttryck, säger de.

Här finns betydande nytta. Kim och co säger att deras tillvägagångssätt ändrar vektorfältskalkyl till en visuell uppgift, snarare som att bygga med legoklossar. Som ett barn som leker med pedagogiska leksaker som legoklossar eller magnetiska byggstavar, kommer det att bli en underhållande upplevelse att 'klottra med de dansande diagrammen', säger de. Eftersom Feynman-diagram är det mest naturliga språket för att beskriva den mikroskopiska processen för elementarpartiklar, är den grafiska notationen det kanoniska språket i vektorkalkylsystemet.

Det är ett stort påstående med enorm potential. Det råder ingen tvekan om att Feynman-diagram har förändrat fysikens sätt att tänka om partikelfysik. Men vektorkalkyl har en ännu större räckvidd som den matematiska grunden för mycket av modern fysik och ingenjörskonst.

Den stora frågan är hur brett idéerna kommer att spridas. Det kommer att avgöra om denna grafiska notation utlöser en transformativ förändring i sättet vi tänker på fysik eller utgör en märklig fotnot i historien om matematisk uppfinning. Hursomhelst, Feynman skulle säkert ha varit road.

Ref: arxiv.org/abs/1911.00892 : Öka vektorkalkylen med den grafiska notationen

Dölj