Första bevarandelagarna härledda för ett virtuellt universum

En av de viktigaste, kraftfulla och vackraste idéerna i modern fysik är Noethers teorem. Detta säger i huvudsak att fysikens grundläggande lagar är en manifestation av symmetri i universum.

Så om universum har rotationssymmetri, så måste det också lyda lagen om bevarande av rörelsemängd, om det har en tidssymmetri måste energi bevaras och så vidare.

Det är svårt att underskatta den djupa betydelsen av detta tillvägagångssätt. Det verkar slita isär själva universums struktur för att avslöja en mycket kraftfull skönhet under.

Och ändå, titta närmare på Noethers teorem och du finner snart dess allvarliga begränsningar. Det visar sig att detta tillvägagångssätt endast kan tillämpas på vissa typer av system som har kontinuerliga symmetrier.

Detta utesluter specifikt diskreta system, som fortsätter steg för steg. Dessa inkluderar system som Turing-maskiner, som en eller två läsare kanske känner till.

Ta till exempel Conways berömda spel om livet, där verklighetstrogna former kan genereras med hjälp av en cellulär automat. Detta sker på ett kvadratiskt rutnät som är symmetriskt under kvartsvarvsrotationer, men inte under kontinuerliga rotationer. Och i den här världen går tiden framåt i diskreta steg snarare än kontinuerliga.

Uppenbarligen kan Noethers teorem inte tillämpas. Så vad händer med naturvårdslagarna? I livets spel måste vi överge bevarande av energi, vinkelmoment och liknande?

Idag tar Tommasso Tofoli vid Boston University och Silvio Capobianco vid Tallinns tekniska universitet i Estland sig an just dessa frågor. Deras svar är en slags lättnad – de hittar en familj av diskreta system som lyder ett Noether-liknande teorem och visar varför.

Systemet de studerar kallas för en Ising spin-modell. Det är en 2D-array av elementära magneter som var och en kan peka antingen uppåt eller nedåt. Varje magnet är kopplad till sina fyra närmaste grannar med den matematiska motsvarigheten till ett gummiband. Bandet sträcks ut om grannen snurrar i motsatt riktning och löst om det snurrar åt samma håll.

Frågan som Toffoli och Capobianco studerar är hur detta system beter sig, hur snurren vänder från ett tillstånd till ett annat, men först sätter de en viktig gräns för vilken typ av interaktioner som kan uppstå.

Detta villkor är att ett snurr bara kommer att vända om det lämnar summan av de potentiella energierna för de fyra omgivande bindningarna oförändrad. Detta kan hända om två av grannarna har parallella snurr medan de andra två har antiparallella snurr. Denna typ av system kallas en mikrokanonisk Ising-modell.

Detta tillstånd har viktiga konsekvenser. Det betyder att potentiell energi alltid bevaras.

Men tänk närmare på detta så blir det lite svårt att sätta fingret på exakt vad vi menar med energi. Antalet spinn upp och ner magneter kan naturligtvis förändras dramatiskt så det är inte vad det är bevarat. Gränsen mellan dem måste dock alltid vara lika lång. Så om vi definierar längden på denna linje som energi, så är det detta som är naturligt bevarat.

(Naturligtvis är magneterna, gummibanden och potentiella energier inte verkliga utan bara användbara sätt att tänka på detta system.)

Det kan tyckas vara en godtycklig definition av energi men Toffoli och Capobianco fortsätter med att visa att den har samma matematiska egenskaper som energi i det verkliga universum (att definiera energi i vår värld är i sig väldigt svårt att göra).

Naturligtvis finns det en annan aspekt av detta system som är lätt att glömma men som är avgörande för bevarandet. Detta är strukturen för den diskreta rum-tiden i vilken all handling äger rum, med andra ord, 2D-rutnätet och de tidssteg över vilka förändring sker.

Klimaxen i Toffoli och Capobiancos papper är deras demonstration att energi endast kan bevaras om rum-tiden är oföränderlig, att alla riktningar och tider i detta Ising-universum är i huvudsak likvärdiga.

På så sätt visar de hur en Noether-liknande sats kan tillämpas i ett diskret universum.

Det är enormt betydelsefullt. Det betyder att samma symmetriregler som kraftfullt har tillämpats på modern fysik också kan gälla för de många nya discipliner som börjar utnyttja diskreta modeller. Dessa inkluderar många samhällsvetenskaper, komplexitetsvetenskap, ekonomi, webbvetenskap och naturligtvis det stora: datavetenskap.

I själva verket har dessa killar använt symmetri för att härleda bevarandelagar i en virtuell värld för första gången.

Men betydelsen går ännu djupare. Det som länkar samman alla dessa discipliner är information. De är alla en del av en ny inriktning inom modern vetenskap som ignorerar den fysiska verklighetens ytliga egenskaper och istället fokuserar på en djupare berggrund: informationen som universum är byggt på.

Även om de inte säger detta explicit, är det som Toffoli och Capobianco studerar den roll som Noether-liknande teorem kan spela i denna nya värld av informationsbaserad vetenskap.

Det väcker förstås många frågor också. Toffoli och Capobianco ger bara ett enda exempel på ett diskret system där ett Noether-liknande teorem gäller. Vad många människor kommer att vilja veta är hur detta kan generaliseras. Kan det till exempel fås att tillämpas på Conways game of life?

Oavsett vilket har Toffoli och Capobianco gjort en lovande start. Som de själva säger: Det här är bara början på vad som lovar att bli en produktiv forskningslinje.

Ref: arxiv.org/abs/1103.4785 : Kan något från Noethers sats räddas för diskreta dynamiska system?

Du kan nu följa The Physics arXiv Blog på Twitter .

Dölj