Ett nytt sätt att göra andragradsekvationer enkla

De forntida babylonierna var ett anmärkningsvärt gäng. Bland många extraordinära prestationer hittade de en numera berömd matematisk lösning på en obehaglig utmaning: att betala skatt.

Det särskilda problemet för den vanliga arbetande babyloniern var detta: Med tanke på en skattesedel som måste betalas i grödor, hur mycket ska jag öka storleken på min åker för att betala den?

Detta problem kan skrivas ner som en andragradsekvation av formen Ax2+Bx+C=0. Och det löses med denna formel:

Idag, över 4 000 år senare, har miljontals människor den kvadratiska formeln etsad in i sina sinnen tack vare hur matematik lärs ut över hela planeten.

Men mycket färre människor kan härleda detta uttryck. Det beror också på hur matematik lärs ut - den vanliga härledningen bygger på ett matematiskt trick, som kallas att slutföra kvadraten, som är långt ifrån intuitivt. Efter babylonierna tog det faktiskt många århundraden för matematiker att snubbla över detta bevis.

Före och sedan har matematiker hittat en lång rad andra sätt att härleda formeln. Men alla är också knepiga och icke-intuitiva.

Så det är lätt att föreställa sig att matematiker måste ha uttömt problemet. Det kan helt enkelt inte finnas ett bättre sätt att härleda den kvadratiska formeln.

Ange Po-Shen Loh, en matematiker vid Carnegie Mellon University i Pittsburgh, som har hittat ett enklare sätt – ett som verkar ha gått obemärkt förbi dessa 4 000 år.

Lohs tillvägagångssätt förlitar sig inte på att fylla i kvadraten eller några andra svåra matematiska trick. Det är faktiskt enkelt nog att fungera som en allmän metod i sig, vilket innebär att eleverna inte behöver komma ihåg formeln alls. Härledningen har potential att avmystifiera den kvadratiska formeln för studenter över hela världen, säger han.

Det nya tillvägagångssättet är okomplicerat. Det börjar med att observera att om en andragradsekvation kan faktoriseras på följande sätt:

Då är den högra sidan lika med 0 när x=R eller när x=S. Då skulle det vara rötterna till kvadratisk.

Multiplicera ut höger sida ger

Detta gäller när -B=R+S och när C=RS.

Nu kommer den smarta biten. Loh påpekar att talen, R och S, summerar till -B när deras genomsnitt är -B/2.

Så vi söker två tal av formen -B/2±z, där z är en enda okänd storhet, säger han. Vi kan sedan multiplicera dessa tal tillsammans för att få ett uttryck för C. Så

Då ger någon enkel omarrangering

Vilket betyder att lösningen för en andragradsekvation är:

Voilà! Det är den kvadratiska formeln.

[Den mer allmänna versionen kan härledas genom att dividera ekvationen Ax2+Bx+C=0 med A för att ge x2+B/Ax+C/A=0 och sedan upprepa processen ovan.]

Det är en mycket betydande förbättring jämfört med den tidigare metoden, och Loh visar varför med ett enkelt exempel.

Hitta rötterna till följande kvadratiska: x2 - 2x+4=0

Den traditionella metoden skulle vara att räkna ut värden för A, B och C och koppla in dem i den kvadratiska formeln. Men Lohs tillvägagångssätt löser problemet intuitivt. Det första steget är att tänka att de två rötterna i ekvationen måste vara lika med -B/2±z = 1±z

Och eftersom deras produkt måste vara C=4 kan vi skriva:

Så rötterna är

Att försöka samma problem med den traditionella metoden är mycket svårare. Fortsätt, ge det en chans! Det nya tillvägagångssättet är mycket enklare och mer intuitivt, inte minst eftersom det inte kräver att formeln alls memoreras.

En intressant fråga är varför ingen har snubblat över och brett delat denna metod tidigare.

Loh säger att han faktiskt skulle bli mycket förvånad om detta tillvägagångssätt helt har undgått mänskliga upptäckter fram till idag, med tanke på 4 000 år av historia om detta ämne och de miljarder människor som har stött på formeln och dess bevis. Ändå är denna teknik verkligen inte allmänt lärd eller känd.'

Loh har letat i matematikens historia efter ett tillvägagångssätt som liknar hans, utan framgång. Han har tittat på metoder som utvecklats av de gamla babylonierna, kineserna, greker, indianer och araber samt moderna matematiker från renässansen fram till idag. Ingen av dem verkar ha gjort detta steg, även om algebra är enkel och har varit känd i århundraden.

Så varför nu? Loh tror att det är relaterat till hur den konventionella metoden bevisar att andragradsekvationer har två rötter. Kanske beror det på att det faktiskt är matematiskt otrivialt att göra den omvända implikationen: det har alltid två rötter, och att de rötterna har summan −B och produkt C, säger han.

Loh, som är matematiklärare och populärt på något sätt, upptäckte sitt tillvägagångssätt när han analyserade matematikläroplaner för skolbarn, med målet att utveckla nya förklaringar. Härledningen kom från denna process.

Frågan är nu hur brett det kommer att spridas och hur snabbt. För att påskynda adoptionen, Loh har tagit fram en video om metoden . I vilket fall som helst skulle babyloniska skattekalkylatorer säkert ha blivit imponerade.

Ref: arxiv.org/abs/1910.06709 : Ett enkelt bevis på den kvadratiska formeln

Rättelse: Vi ändrade en mening för att säga att metoden aldrig tidigare har delats brett och inkluderade ett citat från Loh.

Dölj