211service.com
Domino-kedjereaktionernas nyfikna matematik
Du har förmodligen sett dominoeffekten i aktion där en rad med stående plattor faller successivt. Vanligtvis är dominobrickorna alla av samma storlek, men en tippande domino har faktiskt tillräckligt med fart för att trycka över en större. Så det är möjligt att sätta upp en rad successivt större dominoskivor som kan störtas genom att trycka på en liten platta i början – en dominokedjereaktion.
Så här är en intressant fråga. Hur mycket större kan varje efterföljande domino vara?
Idag tar JM J van Leeuwen vid Leiden University i Nederländerna detta problem i nacken och ger det en bra matematisk skakning. Det visar sig att svaret – den maximala tillväxtfaktorn – inte är fullt så enkelt som problemet kan antyda.
Det finns olika filmer, som den här , på internet som ger en bra demonstration av kedjereaktionseffekten. Standardtänket är att en domino kan välta en annan cirka 1,5 gånger så stor, förutsatt att avståndet mellan dem är optimalt.
Den grundläggande fysiken är okomplicerad. Att ställa en domino på sin ände lagrar en viss mängd potentiell energi som frigörs genom att trycka över den. Kraften som krävs för att välta dominon är dock mindre än kraften den genererar när den faller. Det är denna kraftförstärkning som kan användas för att störta större dominobrickor.
Men djävulen ligger i detaljen eftersom det finns olika sätt som dominobrickorna tappar energi när de välter. Till exempel kommer en tippande domino att vila på sin granne. Så kollisionerna är oelastiska, vilket är den huvudsakliga källan till förlorad energi. Och i praktiken kan dominonerna glida längs golvet när de träffas och detta kan allvarligt hindra att de välter.
Så van Leeuwen gör en rad förenklingar i sin matematiska analys. Han antar att friktionen mellan marken och dominobrickorna i praktiken är oändlig så att de inte kan glida. Han antar att kollisionerna är helt oelastiska så dominobrickorna förblir i kontakt med varandra när de kolliderar. Han antar också att dominobrickorna när de väl kommer i kontakt med varandra glider friktionsfritt över varandra.
Givet dessa antaganden visar han sedan att med optimalt avstånd kan varje efterföljande domino inte vara mer än ungefär dubbelt så stor som den föregående, vilket är maximal tillväxtfaktor på högst ungefär 2.
Det är betydligt mer än vad som tidigare antagits. Han medger att det förmodligen är orealistiskt i praktiken att uppnå denna gräns eftersom antagandena aldrig kan hålla perfekt. Till exempel kommer dominobrickor alltid att glida med en liten mängd.
Ändå leder även en tillväxtfaktor på 1,5 till några extraordinära kedjereaktioner. En serie av 13 dominobrickor som växer i denna takt kommer att förstärka kraften som behövs för att pressa den minsta med en faktor på 2 miljarder. Och det behövs inte en särskilt lång serie innan de största dominobrickorna är lika stora som skyskrapor.
Underhållande matematik!
Ref: arxiv.org/abs/1301.0615 : Dominoförstoring