Denna algoritm kan berätta vilka nummersekvenser en människa kommer att tycka är intressanta

En av matematikens märkliga egenskaper är dess skönhet. Men exakt vad matematiker menar med skönhet är svårt att fånga.

Det kanske mest kända exemplet är Eulers relation, t.ex i π + 1 = 0, vilket avslöjar en djup koppling mellan till synes orelaterade områden inom matematiken. Till exempel |_+_| kommer från geometri, Och och i kommer från algebra, och primitiverna 0 och 1 tillsammans med operationerna + och = kommer från talteorin. Att de hänger ihop på ett så enkelt och oväntat sätt är ett av den matematiska världens stora underverk.

Och det pekar på en annan komponent av matematisk skönhet: Matematiska mönster måste vara intressanta på något sätt. Att känna igen dessa intressanta mönster har alltid varit en unik mänsklig förmåga.

Men på senare år har maskiner blivit enormt kapabla verktyg för mönsterigenkänning. De har faktiskt börjat överträffa människor i ansiktsigenkänning, objektigenkänning och en mängd olika spelroller också.

Och det väcker en intressant möjlighet: Kan maskinlärande algoritmer identifiera intressanta eller eleganta mönster i matematik? Kan de till och med vara domare för matematisk skönhet?

Idag får vi ett slags svar tack vare arbetet av Chai Wah Wu vid IBM:s TJ Watson Research Center i delstaten New York. Wu har byggt en maskininlärningsalgoritm som har lärt sig att identifiera vissa typer av elegans i matematiska strukturer och använt den för att filtrera intressanta sekvenser från helt slumpmässiga.

Tekniken använder en ovanlig databas som kallas Online Encyclopedia of Integer Sequences , som ursprungligen skapades på 1960-talet av matematikern Neil Sloane och lades ut på webben 1996.

En heltalssekvens är en serie tal som är ordnade enligt en regel. Kända exempel inkluderar primtalen – tal som bara kan delas med sig själva och 1 ( A000040 ); Fibonacci-sekvensen, där varje term är summan av de två föregående termerna ( A000045 ); och även triviala exempel som sekvensen av udda tal eller primtal som börjar med en 7.

Faktum är att matematikerna som driver OEIS slängde ut nätet brett på jakt efter intressanta sekvenser och har därför inkluderat ett brett spektrum av exempel med rent kulturell betydelse. Dessa inkluderar primtal som innehåller sekvensen 666, odjurets så kallade nummer.

Databasen innehåller till och med sekvensen av primtal som innehåller talet 667 ( A138563 ). Detta nummer ansågs betydande eftersom när faxmaskiner var vanliga hade människor ofta ett faxnummer som var deras telefonnummer plus 1. Med andra ord, om deras telefonnummer var 123-4567, skulle deras faxnummer vara 123-4568. Med detta sätt att tänka är 667 odjurets faxnummer, och så av kulturell betydelse (redaktörerna är trots allt mänskliga).

Idag innehåller Integer Sequence-databasen cirka 300 000 sekvenser, och nya skickas in varje dag av både amatörer och proffs, många av dem antyder nya och intressanta problem inom matematik.

Uppgiften som Wu tog på sig var att hitta ett sätt att skilja dessa intressanta sekvenser från slumpmässigt genererade. Och hans idé var att hitta empiriska lagar som kan fungera som mått på intressanta som kunde skilja dem från ointressanta.

Empiriska lagar är inte matematiska satser i sig men är empiriska observationer av samband som verkar gälla många naturliga och konstgjorda datamängder, säger Wu. Exempel inkluderar Moores lag inom elektroteknik och 80/20 Pareto-principen inom ekonomi. Exakt varför dessa lagar gäller är inte helt förstått, men de gäller ändå.

En empirisk princip som gäller för många datamängder är Benfords lag. Detta upptäcktes av den kanadensiske matematikern och astronomen Simon Newcomb 1881. Newcomb noterade att de tidigare sidorna i böcker med logaritmtabeller var mer tummade än senare sidor, vilket tyder på att logaritmer som börjar med siffran 1 var vanligare.

Detta ledde till att han formulerade principen att i vilken uppsättning data som helst skulle fler tal börja med 1 än något annat tal. Samma idé återupptäcktes och populariserades av Frank Benford på 1930-talet.

Benfords lag gäller för ett brett utbud av datamängder, såsom elräkningar, gatuadresser, aktiekurser och så vidare. Det är så förutsägbart att det kan användas för att upptäcka bedrägerier i finansiella konton. Men det gäller inte slumpmässiga sekvenser. Exakt varför är inte klart förstått.

Det är faktiskt något av ett pussel att matematiker har upptäckt att Benfords lag gäller för vissa heltalssekvenser. Men hur brett gäller det i dessa sekvenser?

För att ta reda på det mätte Wu hur väl lagen förutsäger fördelningen av första siffror i 40 000 sekvenser slumpmässigt valda från OEIS-databasen.

Det visar sig att Benfords lag dyker upp mycket oftare än väntat. Resultaten visar att många, men inte alla, sekvenser till viss del uppfyller Benfords lag, säger Wu, som fann att en annan empirisk princip kallad Taylors lag också var allmänt närvarande.

Nästa fråga var ett enkelt steg längre: Kan Benfords lag och Taylors lag användas för att skilja slumpmässiga sekvenser från dem i OEIS?

För att ta reda på det genererade Wu 40 000 sekvenser av slumpmässiga heltal och lade till dessa till de 40 000 sekvenser som valts ut från OEIS. Han tränade sedan en maskininlärningsalgoritm för att upptäcka OEIS-sekvenser med hjälp av Benfords lag och Taylors lag och för att skilja dem från slumpmässiga sekvenser.

Resultaten är imponerande. Algoritmen fungerade med en noggrannhet på 0,999 och en precision på 0,9984. Det är viktigt eftersom det skapar möjligheten till en automatiserad process för att upptäcka intressanta sekvenser.

En ansökan är omedelbart uppenbar. Matematikerna som driver OEIS måste för närvarande behandla cirka 10 000 inlämningar per år. Så ett sätt att automatiskt upptäcka det mest intressanta kan vara användbart.

Tillvägagångssättet har dock några betydande begränsningar. Matematiker har definierat många intressanta och viktiga sekvenser som har ett oändligt antal termer men som är svåra att beräkna. Följaktligen innehåller databasen endast en handfull av dessa termer. Dessa är uppenbarligen inte lämpliga för den här typen av maskinbaserad analys.

Den bredare frågan är om detta tillvägagångssätt kan identifiera elegans eller skönhet i matematik. Som Wu frågar: Kan maskininlärning identifiera kvalitativa egenskaper hos vetenskaplig kunskap; d.v.s. kan vi avgöra om ett vetenskapligt resultat är elegant, enkelt eller intressant?

Detta mål kanske inte är helt meningslöst. Om empiriska lagar som Benfords och Taylors är en indikator på intressanthet, som detta arbete antyder, så kanske denna algoritm kan ses som en elegansdomare, åtminstone på någon nivå.

Euler, av samma namn och en av historiens största matematiker, skulle säkert bli fascinerad.

Ref: https://arxiv.org/abs/1805.07431 Kan maskininlärning identifiera intressant matematik? En utforskning med empiriskt observerade lagar

Dölj