Benfords lag och en teori om allting

1938 gjorde fysikern Frank Benford en extraordinär upptäckt om siffror. Han fann att i många listor med siffror som dragits från verkliga data, är den främsta siffran mycket mer sannolikt en 1 än en 9. Faktum är att fördelningen av första siffror följer en logaritmisk lag. Så den första siffran är sannolikt 1 ungefär 30 procent av tiden medan siffran 9 bara visas fem procent av gångerna.

Det är en oroande och kontraintuitiv upptäckt. Varför är inte siffrorna jämnt fördelade i sådana listor? Ett svar är att om tal har den här typen av fördelning måste den vara skalinvariant. Så att byta en datamängd mätt i tum till en mätt i centimeter bör inte ändra fördelningen. Om så är fallet är den enda formen en sådan fördelning kan ha logaritmisk.

Men även om detta är ett kraftfullt argument, gör det ingenting för att förklara existensen av distributionen i första hand.

Sedan finns det det faktum att Benford Law bara verkar gälla vissa typer av data. Fysiker har funnit att det dyker upp i en fantastisk mängd olika datamängder. Här är bara några: sjöområdena, flodernas längder, de fysiska konstanterna, börsindex, filstorlekar i en persondator och så vidare.

Det finns dock många datamängder som inte följer Benfords lag, som lotteri och telefonnummer.

Vad är skillnaden mellan dessa datamängder som gör att Benfords lag gäller eller inte? Det är svårt att undgå känslan av att något djupare måste pågå.

Idag ger Lijing Shao och Bo-Qiang Ma vid Peking University i Kina en ny insikt i Benfords lagars natur. De undersöker hur Benfords lag tillämpas på tre typer av statistiska fördelningar som ofta används inom fysiken.

Dessa är: Boltzmann-Gibbs-fördelningen som är ett sannolikhetsmått som används för att beskriva fördelningen av tillstånden i ett system; Fermi-Dirac-fördelningen som är ett mått på energierna hos enskilda partiklar som följer Paulis uteslutningsprincip (dvs. fermioner); och slutligen Bose-Einstein-fördelningen, ett mått på energierna hos enskilda partiklar som inte följer Paulis uteslutningsprincip (dvs. bosoner).

Lijing och Bo-Qiang säger att Boltzmann-Gibbs- och Fermi-Dirac-fördelningarna båda fluktuerar på ett periodiskt sätt runt Benford-fördelningen med avseende på systemets temperatur. Bose Einstein-fördelningen, å andra sidan, överensstämmer med Benfords lag exakt vad temperaturen än är.

Vad ska man göra av denna upptäckt? Lijing och Bo-Qiang säger att logaritmiska fördelningar är ett allmänt inslag i statistisk fysik och därför kan vara en mer grundläggande princip bakom naturens komplexitet.

Det är en spännande idé. Kan det vara så att Benfords lag antyder någon sorts underliggande teori som styr naturen hos många fysiska system? Kanske.

Men hur är det då med datamängder som inte överensstämmer med Benfords lag? Alla anständiga förklaringar måste förklara varför vissa datamängder följer lagen och andra inte gör det och det verkar som att Lijing och Bo-Qiang är så långt ifrån detta som någonsin.

Ref: arxiv.org/abs/1005.0660 : The Significant Digit Law In Statistical Physics

Dölj