211service.com
Algoritm är slutet för professionella stämmare för musikinstrument
Vid första anblicken verkar det vara en enkel uppgift att stämma ett musikinstrument. Men vilken professionell tuner som helst kommer att berätta att verkligheten är ganska annorlunda.
Plocka en sträng och ljudet den producerar är resultatet av dess grundfrekvens och dess övertoner vid frekvenser som är heltalsmultiplar av grundtonen. Tydligen har övertoner ett enkelt linjärt samband med det fundamentala.
Problemet uppstår eftersom musik består av repeterande mönster av toner baserade på oktaver. Eftersom frekvensen för en ton fördubblas från oktav till oktav, växer frekvenserna exponentiellt när oktaverna ökar.
Och däri ligger problemet. Den linjära ökningen av övertonernas frekvens kan aldrig exakt matcha den exponentiella ökningen som krävs när tonerna är ordnade i oktaver. Så det finns alltid en kompromiss.
Västerländska musikskalor består av toner som skiljer sig åt med ett konstant frekvensförhållande på 2^1/12, ett system som kallas lika temperament. Dessa toner är på samma avstånd på en logaritmisk skala men inte på en linjär skala.
I det här systemet kan toner som är en oktav ifrån varandra alla vara stämda men andra intervall, som perfekta kvarts eller kvintar, är alltid lite ostämda.
För att komma runt detta, 'sträcker' en professionell tuner intervallet mellan några toner för att korrigera dessa intervall. Och det är där saker och ting blir knepiga.
Mängden och typen av sträckning varierar beroende på typ av instrument (och även mellan instrument av samma typ) och kan därför inte beräknas av elektroniska tuners, som annars har revolutionerat stämningen.
Vissa elektroniska enheter tillåter användare att välja en genomsnittlig sträcka för en specifik typ av instrument. Men även då säger många musiker att resultaten inte är lika bra som de som en skicklig professionell tuner kan uppnå.
Det är uppenbart att det är något med det mänskliga örat som ger bättre resultat än en 'genomsnittlig sträcka'.
Idag föreslår Haye Hinrichsen vid universitetet i Würzburg i Tyskland en lösning på detta problem som kan göra det möjligt för elektroniska tuners att matcha prestandan hos de bästa mänskliga tuners. Hans idé är att trimning kan betraktas som ett problem med entropiminimering.
När människor lyssnar på två toner med en oktav från varandra, säg A2 och A3, jämför de inte bara grundfrekvenserna utan också övertonerna. I teorin bör den andra, tredje och fjärde övertonen i A2 exakt överensstämma med den första, andra och tredje övertonen i A3 (och så vidare). Tonerna stäms när övertonerna låser sig exakt.
Problemen som beskrivits ovan säkerställer dock att de högre övertonerna inte matchar exakt och den lilla missanpassningen producerar en beatfrekvens som en professionell tuner försöker minimera.
Denna process måste dock känsligt bero på de akustiska egenskaperna hos innerörat, som är begränsad i upplösningen med vilken det kan urskilja frekvenser.
Denna begränsning är den avgörande faktorn som Hinrichsen säger att hans nya metod kan reproducera.
Han börjar med att ställa in på konventionellt sätt med metoden för lika temperament och sedan dela upp ljudspektrumet med en upplösning som matchar det mänskliga örats.
Problemet är då entropiminimering. Eftersom entropin för två spektrallinjer minskar när de börjar överlappa, är problemet med att hitta den bästa möjliga kompromissen vid matchning av övertoner ekvivalent med att minimera systemets entropi.
Så den nya metoden är att mäta systemets entropi, tillämpa en liten slumpmässig förändring av frekvensen av en ton och mäta entropin igen. Om det har sjunkit anses systemet vara mer i harmoni och ytterligare en slumpmässig förändring tillämpas tills processen hittar ett minimivärde för entropin.
Det är en intressant idé. Det är helt klart inte perfekt förmodligen eftersom det finns många lokala minima som algoritmen kan fastna i.
Men Hinrichsen jämför sin algoritm med arbetet hos en professionell tuner och det blir inte alls dåligt.
Och eftersom det bara är en enkel algoritm kan den enkelt läggas till funktionerna hos relativt billiga elektroniska tuners som finns i butiker. Implementeringen av metoden är väldigt enkel, säger Hinrichsen.
Det kan orsaka några sömnlösa nätter i musikvärlden. Det kan mycket väl vara så att den professionella tunerns dagar är räknade.
Ref: arxiv.org/abs/1203.5101 : Entropibaserad stämning av musikinstrument